Question

【題目】已知函數，．

(1)對,恒成立，求實數a的取值范圍；

(2)當時，求在 上的最大值和最小值；

(3)證明：對都有成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）原不等式等價于，參變分離可求參數的取值范圍.

（2）當時，，該函數的極小值點為，因函數的定義域為，故分 和兩種情況分類討論即可.

（3）即證在上恒成立，也就是在上恒成立，令，，利用導數可證.

（1）由題意，在恒成立，

即，，在恒成立，

設，只須．

由于

所以時，，單調遞減；

時，，單調遞增；

故．因此．

所以的取值范圍為．

（2）時，，，令，得．

當時，，單調遞減；

時，，單調遞增．

故在時，為最小值點，且．

由題意 ，，

1°當時，在最小值為，

，

由于．

．

故．

即當時，在最小值為，

最大值為．

2°當時，在單調遞增，

，

，

綜上所求．

當時，，

當時，．

（Ⅲ）即證：，

即證：，亦即證：，

設，即，

令，，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增．

即．

又設，．

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．

故．

所以最小值與最大值均為．

但取得最小值與取得最大值時的不相同，故，

即成立，亦即結論成立．