Question

【題目】已知函數，若函數在區間內恰好有奇數個零點，則實數k的所有取值之和為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

討論0＜x≤時與＜x＜π時函數解析式，令k＝sinx+cosx﹣4sinxcosx，換元，根據二次函數的單調性即可得出答案.

解：（1）當0＜x≤時，設k＝sinx+cosx﹣4sinxcosx，

令t＝sinx+cosx＝sin（x+），則t∈[1，]，

k＝t﹣2（t2﹣1）＝﹣2t2+ t+2，t∈[1，]為單調函數，

則可知當t＝1時，即k＝1時，一解；

當t＝時，即k＝時，一解；

當1＜t＜時，即﹣2＜k＜1時兩解；

（2）當＜x＜π時，設k＝sinx﹣cosx﹣4sinxcosx，

令t＝sinx﹣cosx＝sin（x﹣），則t∈（1，]，

k＝t+2（t2﹣1），t∈（1，]也為單調函數，

則可知當1＜t＜時，即1＜k＜2+時兩解，

當t＝時，即k＝時一解，

綜上：k＝1或k＝﹣2或k＝，

故所有k的和為.

故答案為：.