Question

【題目】已知直線與拋物線交于兩點，且線段恰好被點平分．

（1）求直線的方程；

（2）拋物線上是否存在點和，使得關于直線對稱?若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析．

【解析】

試題分析：（1）由題意可設直線：

和由直線的方程為；（2）假設存在這樣的直線設

和的中點為，代入直線的方程不滿足式不存在這樣的直線滿足條件．

試題解析：（1）由題意可得直線的斜率存在，且不為．

設直線：，

代入拋物線方程可得：．

判別式．

設，，

即有，

由，∴．

代入判別式大于成立．

∴所求直線的方程為．

（2）假設存在這樣的直線，則可設與拋物線聯立．

則，其中，則．

又，所以的中點為，代入直線的方程，

則不滿足式．所以不存在這樣的直線滿足條件．