Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點，點在直線上運動，過點與垂直的直線和線段的垂直平分線相交于點。

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過(1)中軌跡上的點作兩條直線分別與軌跡相交于，兩點。試探究：當直線的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由。

Answer 1

【答案】(1)；(2) 直線的斜率為定值.

【解析】

試題分析：(1)由得點的軌跡符合拋物線的定義，可求出點的軌跡方程；

(2) 在拋物線上,則作差得，直線方程為，與拋物線方程聯立得，所以有，即，同理得，代入計算即可.

試題解析： （1）依題意，,故動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，∴動點的軌跡為

(2)∵在拋物線上，∴

由①-②可得，，

故直線的斜率為 ……③

設直線方程為，由得

由，于是，同理可得

∴ ∴直線的斜率為定值。