Question

【題目】正態分布有極其廣泛的實際背景，生產與科學實驗中很多隨機變量的概率分布都可以近似地用正態分布來描述.例如，同一種生物體的身長、體重等指標.隨著“綠水青山就是金山銀山”的觀念不斷的深入人心，環保工作快速推進，很多地方的環境出現了可喜的變化.為了調查某水庫的環境保護情況，在水庫中隨機捕撈了100條魚稱重.經整理分析后發現，魚的重量x（單位：kg）近似服從正態分布，如圖所示，已知.

（Ⅰ）若從水庫中隨機捕撈一條魚，求魚的重量在內的概率；

（Ⅱ）（ⅰ）從捕撈的100條魚中隨機挑出6條魚測量體重，6條魚的重量情況如表.

重量范圍（單位：kg）
條數	1	3	2

為了進一步了解魚的生理指標情況，從6條魚中隨機選出3條，記隨機選出的3條魚中體重在內的條數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望；

（ⅱ）若將選剩下的94條魚稱重做標記后立即放生.兩周后又隨機捕撈1000條魚，發現其中帶有標記的有2條.為了調整生態結構，促進種群的優化，預備捕撈體重在內的魚的總數的40%進行出售，試估算水庫中魚的條數以及應捕撈體重在內的魚的條數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0.22；（Ⅱ）（ⅰ）分布列見解析，1.5；（ⅱ）47000，4136.

【解析】

（Ⅰ）根據正態分布曲線的對稱性有，可得出答案.
（Ⅱ）（ⅰ）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，求出各種情況的概率，可得到其概率分布列，再由公式求出數學期望.
（ⅱ）設水庫中共有N條魚，根據題意有，先求出N，又由（Ⅰ）可知，從而可求出體重在內的魚的條數.

（Ⅰ）由正態分布的對稱性可知，

.

（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，

；

；

；

，

所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P

數學期望.

（ii）設水庫中共有N條魚，根據題意有

則（條），

所以估計水庫中有47000條魚.

由（Ⅰ）可知，

則體重在內的魚應捕撈（條）