Question

【題目】三棱錐中，頂點在底面的投影為的內心，三個側面的面積分別為12，16，20，且底面面積為24，則三棱錐的內切球的表面積為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

若設在底面的投影為，分別作于點，于點，于點，則．依題意，為的內心，則，故，再利用三個側面的面積分別為12，16，20，可得，從而求出，然后求內切圓半徑，再求出三棱錐的體積，再用，可求出內切球的半徑，從而可求出內切球的表面積.

解法一：不妨設

設在底面的投影為，分別作于點，于點，于點，則．依題意，為的內心，則，故，

又，，，

所以，所以．

令．

所以，解得，所以．

設內切圓半徑為，則，即，解得，故．

由，得，

所以，

所以，

設三棱錐的內切球的半徑為，則

，即，解得，所以三棱錐的內切球的表面積為，故選C．

解法二：不妨設

設在底面的投影為，分別作于點，于點，于點，則．依題意，為的內心，則，

故，且，記為．

所以，故，

所以，所以．

又，，

，

所以，所以．

令．

所以，解得，所以．

設內切圓半徑為，由直角三角形內切圓半徑公式得．

由題意知三棱錐內切球的球心在上，設為點．由條件知點也在的角平分線上，所以內切球半徑，所以三棱錐的內切球的表面積為，

故選：C