Question

已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率e=,a2與b2的等差中項為.

(1)求橢圓E的方程.

(2)A,B是橢圓E上的兩點,線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(t,0),求實數t的取值范圍.

 

Answer 1

(1) +=1 (2) (-,)

【解析】(1)由題意得

解得:.即橢圓E的方程為+=1.

(2)設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).

因線段AB的垂直平分線與x軸相交,

故AB不平行于y軸,即x1≠x2.

又交點為P(t,0),故|PA|=|PB|,

即(x1-t)2+=(x2-t)2+,

∴t=+　①

∵A,B在橢圓上,∴=4-,=4-.

將上式代入①,得t=.

又∵-3≤x1≤3,-3≤x2≤3,且x1≠x2,

∴-6<x1+x2<6,則-<t<,

即實數t的取值范圍是(-,).