Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；

（2）若是的極大值點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，則，再令，則，得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，可得出函數(shù)的單調(diào)性，繼而判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而可得出函數(shù)的單調(diào)性，可得證；

（2）分兩種情況和，分別討論得出函數(shù)的單調(diào)性，由已知可得出正實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（1）由題知，，

令，則，

若，當(dāng)時(shí)，

，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，所以在上單調(diào)遞增；

所以.

（2）①若，由（1）知：在上單調(diào)遞增；

因此不可能是的極大值點(diǎn).

②若，令，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以即在上單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>，，

因此存在滿足：，所以當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，，

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；

綜上，當(dāng)是的極大值點(diǎn)時(shí)，.