Question

【題目】已知三棱錐(如圖1)的平面展開圖（如圖2）中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：

（1）證明：平面平面；

（2）若點在棱上運動，當直線與平面所成的角最大時，求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取中點，連接，則，由此能證明平面平面（2）由，得平面，從而是直線與平面所成角，且，進而當最短時，即是中點時，最大，由平面，得，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法先求出二面角的余弦值，根據同角三角函數關系即可求出正切值.

（1 ）三棱錐(如圖1)的平面展開圖（如圖2）中

四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，

，

取中點，連接，

則，

且，

，

又，

平面,

平面,

平面平面

（2）由（1）知，

,

平面

是直線與平面所成角，且，

當最短時，即是中點時，最大，

由平面，得，

以所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖：

則，

，

設平面的法向量,

則，取，得，

設平面的法向量，

則，取，得，

設二面角的平面角為，

則，

所以，

二面角的正切值為.