Question

已知f（x）=

( 3 2 )x，x≥0 2x，x＜0

，若對任意x∈[-1-m，m-1]，不等式f（

2

x-m）≥[f（x）]³恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數最值的應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：分段函數內都是指數函數，且底數都大于1，借助指數運算及單調性化簡不等式，同時注意區間成立的條件從而求出實數m的取值范圍．

解答： 解：有題設知，f(x)=

( 3 2 )x，x≥0 2x，x＜0

，則[f（x）]³=f（3x），
因此原不等式等價于f(

2

x-m)≥f(3x)，
又∵f（x）在R上是增函數，
∴

2

x-m≥3x，
即m≤(

2

-3)x，且x∈[-1-m，m-1]，
∴當x=m-1時，(

2

-3)x取得最小值（

2

-3）（m-1），
因此m≤（

2

-3）（m-1），
解得m≤

2- 2

2

，
又∵m-1＞-1-m，
∴m＞0，
故m∈(0，

2- 2

2

]．

點評：本題綜合考查了學生對分段函數，指數函數，指數運算及不等式的處理能力．將題目條件轉化為常見題型的能力．