Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，O是AC與BD的交點，SO⊥平面ABCD，E是側棱SC的中點，直線SA和AO所成角的大小是45°．
（1）求證：直線SA∥平面BDE；
（2）求直線BD與平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）連接EO，由題設條件推導出EO是△ASC的中位線，由此能夠證明直線SA∥平面BDE．
（2）過點O作CB的平行線作x軸，過O作AB的平行線作y軸，以OS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠求出直線BD與平面SBC所成角的正弦值．

解答： 解：（1）連接OE，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴O是AC的中點．
又∵E是側棱SC的中點，
∴OE∥SA．
又OE?平面BDE，SA?平面BDE，
∴直線SA∥平面BDE．…（4分）
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，

則D（0，-2

2

，0），B（0，2

2

，0），S（0，0，2

2

），C（-2

2

，0，0）．
∴

BD

=（0，-4

2

，0），

BC

=（-2

2

，-2

2

，0），

SB

=（0，2

2

，-2

2

）．
設平面SBC的法向量為n=（x，y，1），
則有

n• SB =0 n• BC =0

即

2 2 y-2 2 =0 -2 2 x-2 2 y=0

解得

y=1 x=-1

∴n=（-1，1，1）．…（9分）
直線BD與平面SBC所成的角記為θ，
則sin θ=|

n• BD

|n|| BD |

|=

4 2

3 ×4 2

=

3

3

．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．