Question

定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足f（2x）=2f（x），且當x∈（1，2]時，f（x）=2-x，若x₁，x₂是方程f（x）=a（0＜a≤1）的兩個實數根，則x₁-x₂不可能是（　　）

• A、30
• B、56
• C、80
• D、112

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：根據題中的條件得到函數的解析式為：所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，b∈N^*．又將方程f（x）=a（0＜a≤1）的兩個實數根，轉化為函數y=f（x）圖象和直線y=a的交點問題，再結合函數的圖象根據題意求出答案即可．

解答： 解：因為對任意的x∈（0，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且當x∈（1，2]時，f（x）=2-x
所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，b∈N^*．
由題意方程f（x）=a（0＜a≤1）的兩個實數根，得函數y=f（x）圖象和直線y=a的有兩個交點，
分別畫出它們的圖象，如圖所示，
所以可得函數y=f（x）圖象和直線y=a的交點的橫坐標之差可以是2，4，8，16，32，64，…
由于30=2+4+8+16；56=8+16+32；112=16+32+64．
則x₁-x₂不可能是80．
故選：C．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉求函數解析式的方法以及函數的圖象與函數的性質，數形結合思想是高中數學的一個重要數學數學，是解決數學問題的必備的解題工具．