Question

已知橢圓的離心率為，，為橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且的周長為。
（Ⅰ）求橢圓的方程
（Ⅱ）設直線與橢圓相交于、兩點，若（為坐標原點），求證：直線與圓相切.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）借助題中的已知條件以及、、三者之間的相互關系確定、、的值，從而確定橢圓的方程；（Ⅱ）對直線的斜率存在與不存在這兩種情況進行討論，即根據這個條件確定直線傾斜角為時，直線的方程，以及根據這個條件在斜率存在時方程中、之間的等量關系，并借助圓心（原點）到直線的距離等于圓的半徑確定直線與圓相切.
試題解析：解（Ⅰ）由已知得，且
解得，又
所以橢圓的方程為            4分
（Ⅱ）證明：有題意可知，直線不過坐標原點，設的坐標分別為
（ⅰ）當直線軸時，直線的方程為且
則
     
，解得
故直線的方程為
因此，點到直線的距離為
又圓的圓心為，半徑
所以直線與圓相切                     9分
（ⅱ）當直線不垂直于軸時，設直線的方程為
由 得



  
故
即       ①
又圓的圓心為，半徑
圓心到直線的距離為
    ②
將①式帶入②式得

所以
因此，直線與圓相切                   14分