Question

如圖，已知橢圓，是長軸的左、右端點，動點滿足，聯結，交橢圓于點．

（1）當，時，設，求的值；
（2）若為常數，探究滿足的條件？并說明理由；
（3）直接寫出為常數的一個不同于（2）結論類型的幾何條件．

Answer 1

（1）4
（2）時，為常數．
（3）“設為橢圓的焦點，為短軸的頂點，當為等腰三角形時，為常數或．

試題分析：解 （1）直線，解方程組 ，得．
所以．     …5分
（2）設，，
因為三點共線，于是，即．   7分
又，即．      9分
所以
．
所以當時，為常數．    14分
另解 設，解方程組 得．
要使為定值，有，即．（相應給分）
（3）若考生給出“設為橢圓的焦點，為短軸的頂點，當為等腰三角形時，為常數或．”       16分
若考生給出“當時，為常數或．”  18分
（ 注：本小題分層評分）
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關系的運用，屬于中檔題。