Question

已知橢圓的右焦點(diǎn)為 ，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)和短軸的兩端構(gòu)成邊長為的正方形.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在直線交與橢圓于， ，且使，使得為的垂心，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1） ；（2）.

試題分析：（1）利用正方形的性質(zhì)，橢圓的性質(zhì)；（2）由直線的方程于橢圓的方程組成方程組，消去，由及綜合求得.
試題解析：（1）由兩焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)構(gòu)成邊長為的正方形，則，，
所以橢圓方程為.            （4分）
（2）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點(diǎn)，且使為的垂心，設(shè)，，
∵，，則，故直線的斜率，∴設(shè)直線的方程為，
由得，由題意知，即，      （7分）
且，，由題意應(yīng)有，
而，，
故，                    （9分）
∴，
解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，不存在，故舍去，
∴當(dāng)時(shí)，所求直線方程為滿足題意，
綜上所述，存在直線，且直線的方程為,             （14分）