Question

【題目】已知點，直線：，點為上一動點，過作直線，為的中垂線，與交于點，設點的軌跡為曲線Γ.

（1）求曲線Γ的方程；

（2）若過的直線與Γ交于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，求與的比值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）易知，即點到的距離等于點到點的距離，可知點的軌跡為拋物線，求出方程即可；

（2）設線段的垂直平分線與交于點，分別過點作，垂足為，再過點作，垂足為，易知，可得，進而結合拋物線的定義，可求出的值，即可得到與的比值.

（1）由題意可知，即點到的距離等于點到點的距離，

所以點的軌跡是以為準線，為焦點的拋物線，

其方程為：.

（2）設線段的垂直平分線與交于點，分別過點作，垂足為，

再過點作，垂足為，

因為， 所以∽，所以，

設，(不妨設)，由拋物線定義得， ，

所以，

而，

所以.