Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，證明：；

（2）若在只有一個零點，求.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2

【解析】

（1）當時，，其定義域為，利用導函數可求得在上的單調性，進而可證明；

（2）若或，利用導數研究函數的單調性，可證明函數的零點個數不唯一，與已知條件矛盾；若時，由（1）可知，在只有一個零點.

（1）當時，，其定義域為，

令，則，

若，則，則，則在上單調遞減，

又，故，故在上單調遞增，

又，故對任意，恒成立；

若，因為且，所以，則在上單調遞減，

又，故對任意，恒成立.

綜上，當時，對任意，恒成立.

（2）①若時，令，則，

易知時，，則，即在上單調遞減，

由，且，，

結合零點存在性定理知在內存在實數使得，

故時，單調遞增，時，單調遞減.

由，可知.

因為，所以，即，

所以，

因為時，，所以，

因為，，所以在上存在一個不為0的零點，

因為，所以時，函數的零點個數不唯一，與題意矛盾，所以；

②若時，，易知在上單調遞減，

又，，

結合零點存在性定理知，存在使得，

故當時，，時，，

即在上單調遞增，在上單調遞減，

又，故；

構造函數，，則，

則，顯然時，，

故在單調遞減，又，故，故在單調遞減，

又，故，即，對任意恒成立，

因為，所以，故，即，故恒成立，

所以，

因為時，，而，，所以，即，

所以在上存在一個大于0的零點，

因為，所以時，函數的零點個數不唯一，與題意矛盾，所以；

若時，由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，且，顯然函數在只有一個零點.

綜上，要使在只有一個零點，則.