Question

【題目】魏晉時期數學家劉徽在他的著作《九章算術注》中，稱一個正方體內兩個互相垂直的內切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”（如圖所示），劉徽通過計算得知正方體的內切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應為．若“牟合方蓋”的體積為，則正方體的外接球的表面積為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根據已知求出正方體的內切球的體積，得到內切球的半徑，根據正方體內切球的直徑為其棱長，外接球的直徑為其對角線，即可求解.

因為“牟合方蓋”的體積為，

又正方體的內切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應為，

所以正方體的內切球的體積球，

所以內切球的半徑，所以正方體的棱長為2，

所以正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線即，

所以，所以正方體的外接球的表面積為．

故答案為：.