Question

（2013•泰安二模）某次考試中，從甲、乙兩個班級各隨機抽取10名學生的成績進行統計分析，兩班成績的莖葉圖如圖所示，成績不小于60分為及格．
（Ⅰ）從甲、乙兩班的10名學生中各抽取一人，已知有人及格，求乙班學生不及格的概率；
（Ⅱ）從甲班10人中取1人，乙班10人中取2人，三人中及格人數記為ξ，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（I）由莖葉圖可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格．事件“從甲、乙兩班的10名學生中各抽取一人，有人及格”記作A，事件“從甲、乙兩班的10名學生中各抽取一人，乙班學生不及格”記作B．事件A的對立事件

.

A

是“從甲、乙兩班的10名學生中各抽取一人，兩人都不及格”即可得到P（A）=1-P（

.

A

）．利用積事件的概率計算公式即可得到p（AB），再利用條件概率的計算公式即可得出P（B|A）=

P(AB)

P(A)

．
（II）由題意可知ξ可取0，1，2，3．從甲班10人中取1人，乙班10人中取2人，可得：基本事件的總數為

C

1 10

•

C

2 10

．ξ=0表示的是從甲班選取的1人和從乙班選取的2人都不及格，其選法為

C

1 6

C

2 5

；ξ=1表示的是從甲班選取的1人及格但是從乙班選取的2人都不及格，或從甲班選取的1人不及格但是從乙班選取的2人中有1人及格而另一人不及格，其選法為

C

1 4

C

2 5

+

C

1 6

C

1 5

C

1 5

；ξ=2表示的是從甲班選取的1人及格且從乙班選取的2人中一人及格而另一人不及格，或從甲班選取的1人不及格但是從乙班選取的2人都及格，其選法為

C

1 4

C

1 5

C

1 5

+

C

1 6

C

2 5

；．ξ=3表示的是從甲班選取的1人和從乙班選取的2人都及格，其選法為

C

1 4

C

2 5

．利用互斥事件和古典概型的概率計算公式即可得出P（ξ=k）（k=0，1，2，3）．進而得出分布列和數學期望．

解答：解：（I）由莖葉圖可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格．
事件“從甲、乙兩班的10名學生中各抽取一人，有人及格”記作A，事件“從甲、乙兩班的10名學生中各抽取一人，乙班學生不及格”記作B．
則P（A）=1-P(

.

A

)=1-

6

10

×

5

10

=

7

10

．
P（AB）=

4

10

×

5

10

=

1

5

．
P（B|A）=

P(AB)

P(A)

=

1 5

7 10

=

2

7

．
（II）由題意可知ξ可取0，1，2，3．
P（ξ=0）=

C 1 6 • C 2 5

C 1 10 • C 2 10

=

2

15

，P（ξ=1）=

C 1 4 • C 2 5

C 1 10 • C 2 10

+

C 1 6 C 1 5 C 1 5

C 1 10 • C 2 10

=

19

45

，P（ξ=2）=

C 1 4 • C 1 5 C 1 5

C 1 10 • C 2 10

+

C 1 6 • C 2 5

C 1 10 • C 2 10

=

16

45

，P（ξ=3）=

C 1 4 • C 2 5

C 1 10 • C 2 10

=

4

45

．
可得ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P（ξ）	2 45	19 45	16 45	4 45

∴E（ξ）=

0+1×19+2×16+3×4

45

=

7

5

．

點評：本題考查了積事件的概率計算公式、條件概率的計算公式P（B|A）=

P(AB)

P(A)

、互斥事件和古典概型的概率計算公式、離散型隨機變量的分布列和數學期望等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．