Question

（2013•泰安二模）已知等差數列{a_n}的首項a₁=3，且公差d≠0，其前n項和為S_n，且a₁，a₄，a₁₃分別是等比數列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
（Ⅰ）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等比數列的公比為q，利用a₁，a₄，a₁₃分別是等比數列{b_n}的b₂，b₃，b₄，求出公差，即可求出數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出前n項和，可得數列通項，利用裂項法求數列的和，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：設等比數列的公比為q，則
∵a₁，a₄，a₁₃分別是等比數列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
∴(a1+3d)2=a1(a1+12d)
∵a₁=3，∴d²-2d=0
∴d=2或d=0（舍去）
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
∵q=

b3

b2

=

a4

a1

=3，b1=

b2

q

=1
∴b_n=3^n-1；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知Sn=n2+2n
∴

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

∵

1

n+1

+

1

n+2

≤

1

2

+

1

3

=

5

6

∴

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)≥

1

3

∴

1

3

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

點評：本題考查數列的通項，考查裂項法求數列的和，考查學生分析解決問題的能力，確定數列的通項是關鍵．