Question

【題目】已知數列{an}滿足an+1= an2﹣ nan+1（n∈N*），且a1=3．
（1）計算a2 ， a3 ， a4的值，由此猜想數列{an}的通項公式，并給出證明；
（2）求證：當n≥2時，ann≥4nn ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ ，且a1=3．

∴a2=4，a3=5，a4=6

猜想an=n+2

證明：①當n=1時顯然成立

②假設n=k時（k≥1）時成立，即ak=k+2

則n=k+1時，ak+1= =

=k+3即n=k+1時命題成立

綜上可得，an=n+2

（2）

證明：①當n=1時顯然成立

②假設n=k時（k≥1）時成立，即ak=k+2

則n=k+1時，ak+1= =

=k+3即n=k+1時命題成立

綜上可得，an=n+2

證明：（2）∵an=n+2，n≥2

∴ =（n+2）n=

≥

≥5nn﹣2nn﹣1=4nn+nn﹣1（n﹣2）≥4nn，即證

【解析】（1）由 ，且a1=3，分別令 n=1，2，3即可求解，進而可猜想，然后利用數學歸納法進行證明即可（2）由（1）可得an=n+2，從而有 =（n+2）n ， 利用二項式定理展開后即可證明
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的通項公式的相關知識，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．