Question

【題目】已知函數f（x）= （x+ ），g（x）= （x﹣ ）．
（1）求函數h（x）=f（x）+2g（x）的零點；
（2）求函數F（x）=[f（x）]2n﹣[g（x）]2n（n∈N*）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= （x+ ），g（x）= （x﹣ ），

∴h（x）=f（x）+2g（x）= ，

由 ，得3x2=1，

∴x= ．

即函數h（x）=f（x）+2g（x）的零點為：

（2）解：F（x）=[f（x）]2n﹣[g（x）]2n=

=

=

≥ = ．

當且僅當x=±1時等號成立．

∴函數F（x）=[f（x）]2n﹣[g（x）]2n（n∈N*）的最小值為1

【解析】（1）直接由h（x）=f（x）+2g（x）=0求解關于x的方程得答案；（2）由F（x）=[f（x）]2n﹣[g（x）]2n= ，展開二項式定理，重新組合后利用基本不等式轉化，再由二項式系數的性質求得F（x）的最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．