Question

【題目】已知動點C到點F（1，0）的距離比到直線x=﹣2的距離小1，動點C的軌跡為E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（km＜0）與曲線E相交于A，B兩個不同點，且 ，證明：直線l經過一個定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得動點C到點F（1，0）的距離等于到直線x=﹣1的距離，

∴曲線E是以點（1，0）為焦點，直線x=﹣1為準線的拋物線，

設其方程為y2=2px（p＞0），∴ ，∴p=2，

∴動點C的軌跡E的方程為y2=4x

（2）證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，

∴ ， ．

∵ ，

∴x1x2+y1y2= = ，

∴m2+4km﹣5k2=0，∴m=k或m=﹣5k，又km＜0，m=k舍去，m=﹣5k，滿足△=16（1﹣km）＞0，

則直線l的方程為y=k（x﹣5），

∴直線l必經過定點（5，0）

【解析】（1）根據拋物線的定義，即可求得曲線E的方程；（2）設直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，求得m=﹣5k，即可求得直線l的方程，則直線l必經過定點（5，0）．