Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足： + +…+ = （n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若bn=anan+1 ， Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，對于任意的正整數(shù)n，Sn＞2λ﹣ 恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，當n=1時， ，則a1=2，

當n≥2時， ，

則 ，

兩式相減得， = ，即an= ，

當n=1時，也符合上式，則an=

（2）解：由（1）得，bn=anan+1=

= =2（ ），

所以Sn=2[（1﹣ ）+（ ）+（ ）…+（ ）]

=2（1﹣ ），

則n越大， 越小，Sn越大，

即當n=1時，Sn最小為S1= ，

因為對于任意的正整數(shù)n，Sn＞2λ﹣ 恒成立，

所以 ＞2λ﹣ ，解得 ，

故實數(shù)λ的取值范圍是（﹣∞， ）

【解析】（1）由題意和數(shù)列前n項和與通項公式的關(guān)系式，求出 ，即可求出an；（2）把an代入bn=anan+1化簡，利用裂項相消法求出Sn，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求出Sn的最小值，由恒成立的條件列出不等式，求出實數(shù)λ的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識點，需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題．