Question

【題目】設函數

（1）求函數的解析式；

（2）設，是否存在實數a，使得當時，恒有成立，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）將y＝ax+3a作為方程利用指數式和對數式的互化解出x，然后確定原函數的值域即為反函數的定義域；

（2）設h（x）＝f﹣1（x）+g（x），然后求出h（x）在閉區間[a+2，a+3]上的最小值與最大值，使最大值與最小值都小于等于1，建立不等式組進行求解即可．

（1）設y＝ax+3a，則且ax＝y﹣3a，

兩邊取對數得：x＝loga（y﹣3a），

所以f﹣1（x）＝loga（x﹣3a）（）

（2）因為x∈[a+2，a+3]時，函數有意義，所以（a+2）﹣3a＝2﹣2a＞0，所以0＜a＜1，設h（x）＝f﹣1（x）+g（x），則，二次函數u＝x2﹣4ax+3a2的對稱軸為x＝2a＜2，

所以u＝x2﹣4ax+3a2在x∈[a+2，a+3]上為增函數，

當x＝a+2時，取得最小值4（1﹣a），當x＝a+3時取得最大值3（3﹣2a）

從而可得在閉區間[a+2，a+3]上的最小值與最大值分別為loga3（3﹣2a），loga4（1﹣a）

當x∈[a+2，a+3]時，恒有|f﹣1（x）+g（x）|≤1成立的充要條件為

解得．