Question

【題目】已知數列的各項均為正數，且，對于任意的，均有，.

（1）求證：是等比數列，并求出的通項公式；

（2）若數列中去掉的項后，余下的項組成數列，求；

（3）設，數列的前項和為，是否存在正整數，使得、、成等比數列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）（3）存在滿足題設條件的;此時

【解析】

(1)根據題意構造等比數列結構證明即可.

(2)根據數列的取值范圍可得,進而分析得

求解即可.

(3)利用裂項相消求和求得,再根據題意用關于的表達式,再分析取值范圍即可.

（1）由得,由于,

故,即,所以.

故數列為等比數列,且,所以.

（2）,故,,

其中（常數）,所以數列是以1為首項、2為公差的等差數列,

,,,.

由（1）可得,,,因為,,

所以

.

（3）,

.

其中,,,

假設存在正整數,使得、、成等比數列,

則有,即,所以,

解得,又因為,,所以,此時,

所以存在滿足題設條件的、.