Question

【題目】設，，記.

（1）若，，當時，求的最大值；

（2）若，，且方程有兩個不相等的實根、，求的取值范圍；

（3）若，，，且a、b、c是三角形的三邊長，試求滿足等式：有解的最大的x的范圍.

Answer 1

【答案】（1）12；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據，，得到關于，的方程組，解出，，利用配方法，結合的取值范圍，得到最大值；（2）根據方程有兩個不相等的實根、，求出的表達值，結合不等式的性質求出的范圍；（3）問題等價于存在使得成立，令，根據函數的單調性求出的范圍，得到答案.

（1）因為，，

所以，解得，.

所以

因為，所以

所以當，即時，取得最大值為.

（2），，，

因為，所以，

令，，

而，則

因為，所以

所以，，且，

所以

所以的范圍為.

（3）當時，有解

等價于，存在使得成立，

令

因為，，且，

顯然，，

所以，，

所以為減函數，

因為，，是三角形的三邊，所以，即

所以，

又是減函數，

所以存在使得，

所以的范圍是