Question

已知函數g（x）=（a+1）x，h（x）=x²+lg|a+2|，f（x）=g（x）+h（x），其中a∈R且a≠-2．
（1）若f（x）為偶函數，求a的值；
（2）命題p：函數f（x）在區間[（a+1）²，+∞）上是增函數，命題q：函數g（x）是減函數，如果p或q為真，p且q為假，求a的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，比較f（2）與3-lg2的大小．

Answer 1

分析：（1）根據偶函數的定義可得f（-x）=f（x）然后代入即可求出a
（2）若命題q為真命題時，則對稱軸x=-

a+1

2

≤（a+1）²，解得a的取值范圍；當q是真命題時函數g（x）是減函數，解得a的取值范圍．再由p或q為真命題，命題p且q為假命題，由此能求出實數a的取值范圍．
（3）欲比較f（2）與3-lg2的大小，利用作差比較法，只須比較它們的差與0的大小即可，結合（2）中a的取值范圍即可得出答案．

解答：解：（1）由已知f（x）為偶函數得：f（-x）=f（x），
即-（a+1）x+x²+lg|a+2|=（a+1）x+x²+lg|a+2|，
化簡得：（a+1）x=0，此式對任意x都成立，
∴a=-1；
（2）命題p：函數f（x）在區間[（a+1）²，+∞）上是增函數，
∴對稱軸x=-

a+1

2

≤（a+1）²，
即（a+1）（2a+3）≥0，
∴a≥-1或a≤-

3

2

，
命題q：函數g（x）是減函數，
∴a+1＜0，即a＜-1．
若命題p真q為假命題時，則a≥-1；
若命題q真p為假命題時，則-

3

2

＜a＜-1；
綜合得，如果p或q為真，p且q為假，則有a＞-

3

2

．
（3）f（2）=4+2（a+1）+lg|a+2|=6+2a+lg|a+2|
∴f（2）-（3-lg2）=6+2a+lg|a+2|-3+lg2=3+2a+lg|a+2|+lg2，
∵a＞-

3

2

，
∴2a+3＞0，lg|a+2|＞lg

1

2

=-lg2，
∴f（2）-（3-lg2）＞0．
∴f（2）＞3-lg2．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．