Question

已知在正整數(shù)數(shù)列{a_n}中，其前n項的和為S_n且滿足S_n=

1

8

（a_n+2）²．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項的和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）令n=1，易求a₁=2，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

8

(an+2)2-

1

8

(an-1+2)2=

1

8

(an+an-1+4)(an-an-1)，化簡可得a_n-a_n-1=4，從而判斷{a_n}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式可求a_n；
（Ⅱ）先求出b_n=

1

8

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），利用裂相消法可求得T_n．

解答： 解：（Ⅰ）當n=1時，S1=a1=

1

8

(a1+2)2，解得a₁=2；
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

8

(an+2)2-

1

8

(an-1+2)2=

1

8

(an+an-1+4)(an-an-1)，
∴

a

2 n

-

a

2 n-1

-4(an+an-1)=0，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，
又數(shù)列{a_n}的各項均為正整數(shù)，∴a_n＞0，∴a_n-a_n-1=4，
故數(shù)列{a_n}是首項為2，公差為4的等差數(shù)列．
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（Ⅱ）bn=

1

anan+1

=

1

(4n-2)(4n+2)

=

1

4(2n-1)(2n+1)

=

1

8

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
故T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

8

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

8

(1-

1

2n+1

)=

n

4(2n+1)

．

點評：該題考查由遞推式求數(shù)列通項、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和，考查學(xué)生的推理論證能力，裂項相消法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．