Question

對于函數g（x）=（x-1）²e^x，
（1）求g（x）的單調區間；
（2）若m∈N⁺，問g（x）=lnx-

x2

2

+mx在[1，+∞）是否存在兩個不同的解，若存在，求m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數判斷函數的單調性求得單調區間；
（2）令h（x）=（x-1）²e^x-lnx+

x2

2

-mx，x∈[1，+∞），利用導數判斷其單調性，即可得出結論．

解答： 解：（1）g（x）=（x-1）²e^x，
∴g′（x）=（x+1）（x-1）e^x
∴由g′（x）＞0得，x＜-1或x＞1；由g′（x）＜0得，-1＜x＜1；
∴g（x）的遞增區間是（-∞，-1）和（1，+∞），遞減區間是（-1，1）．
（2）g（x）=lnx-

x2

2

+mx在[1，+∞）存在兩個不同的解，等價于g（x）=lnx-

x2

2

+mx在[1，+∞）有兩個不等的根．
令h（x）=（x-1）²e^x-lnx+

x2

2

-mx，x∈[1，+∞）
h′（x）=（x²-1）e^x-

1

x

+x-m，h^″（x）=（x-1）²e^x+

1

x2

+1，
∴h^″（x）≥0，h′（x）是[1，+∞）上的增函數，又h′（1）=-m＜0，

lim

n→∞

h′(x)=+∞，
∴存在x₀∈（1，+∞）使得h′（x₀）=0，故h（x）在（1，x₀）單調遞減，在（x₀，+∞）單調遞增，
又h（1）=

1

2

-m＜0，
∴g（x）=lnx-

x2

2

+mx在[1，+∞）至多有一個解，故不存在

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性單調區間知識，考查學生問題的轉化劃歸能力及運算能力，屬難題．