Question

三角形三邊所在直線方程分別為2x+y-12=0、3x-2y+10=0、x-4y+10=0．
（1）求表示三角形區(qū)域（含邊界）的不等式組，并畫出此區(qū)域（用陰影線條表示）；
（2）若點(diǎn)P（x，y）在上述區(qū)域運(yùn)動(dòng)，求z=x+2y的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的x、y值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)不等式和平面區(qū)域的關(guān)系，建立不等式組，并畫出此區(qū)域（用陰影線條表示）；
（2）利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）不等式組為

2x+y-12≤0 3x-2y+10≥0 x-4y+10≤0

，對(duì)應(yīng)的可行域如圖：
（2）由z=x+2y，得y=-

1

2

x+

z

2

，
平移直線y=-

1

2

x+

z

2

，由圖象可知當(dāng)直線y=-

1

2

x+

z

2

經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線y=-

1

2

x+

z

2

的截距最大，此時(shí)z最大．
由

2x+y-12=0 3x-2y+10=0

，得

x=2 y=8

，
即B（2，8），
此時(shí)z的最大值為z=2+2×8=18，
可知當(dāng)直線y=-

1

2

x+

z

2

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=-

1

2

x+

z

2

的截距最小，此時(shí)z最小．
由

x-4y+10=0 3x-2y+10=0

，得

x=-2 y=2

，
即A（-2，2），
此時(shí)z的最小值為z=-2+2×2=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．