Question

【題目】已知F為拋物線E：（p＞0）的焦點，C（，1）為E上一點，且|CF|=2．過F任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線E于P，Q和M，N兩點，A，B分別為線段PQ和MN的中點．

（1）求拋物線E的方程及點C的坐標；

（2）試問是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；

（3）證明直線AB經過一個定點，求此定點的坐標，并求△AOB面積的最小值．

Answer 1

【答案】(1) 拋物線方程為，或 ；(2) 是定值，定值為；(3) 過定點；面積的最小值為6.

【解析】

根據拋物線的性質和定義即可求出，代值計算即可求出點C的坐標，

設直線的方程為，，則直線的方程為，設，，，，根據拋物線定義可得，，再分別聯立方程組根據韋達定理可得，，即可求出，

設，，由分別求出點A，B的坐標，求出直線AB的斜率，寫出直線方程，即可得到直線過定點，再根據兩點之間的距離公式和點到直線的距離公式可得表示三角形面積，根據基本不等式即可求出最值

解：拋物線E：的準線方程為，

為E上一點，且，

，即，

拋物線方程為，

當時，，

即或．

由可得，

設直線的方程為，，則直線的方程為，

設，，，，

，，

由，，分別消x可得，，，

，

，

，

故是為定值，定值為．

設，，

，B分別為線段PQ和MN的中點，

由可得，，

，，

則直線AB的斜率為，

直線AB的方程為，即，

直線AB過定點，

點到直線的距離，

，當且僅當時取等號．

故面積的最小值為6．