Question

【題目】AB為過拋物線焦點F的弦，P為AB中點，A、B、P在準線l上射影分別為M、N、Q，則下列命題： 以AB為直徑作圓，則此圓與準線l相交；；；；、O、N三點共線為原點，正確的是______ ．

Answer 1

【答案】②③④⑤

【解析】

根據拋物線的定義，可知AP+BP＝AM+BN，從而，所以以AB為直徑作圓則此圓與準線l相切，故可判斷①錯，③對；由AP＝AF可知∠AMF＝∠AFM，同理∠BFN＝∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，從而可判斷②④正確；

對于 ⑤，不妨設拋物線方程為y2＝2px，直線AB：，從而可證明kOA＝kON，故可判斷．

解：由題意，AP+BP＝AM+BN

∴，∴以AB為直徑作圓則此圓與準線l相切，故①錯，③對；

由AP＝AF可知∠AMF＝∠AFM，同理∠BFN＝∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，從而②④正確；

對于 ⑤，不妨設拋物線方程為y2＝2px，直線AB：

聯立可得y2﹣2kpy﹣p2＝0

設，，則

∴，

∵y1y2＝﹣p2，∴kOA＝kON，故⑤正確

故答案為②③④⑤