Question

.（本小題滿分14分）
已知圓M：及定點，點P是圓M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足
（1）求點G的軌跡C的方程；
（2）過點K（2，0）作直線與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設是否存在這樣的直線使四邊形OASB的對角線相等？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）由為PN的中點，且是PN的中垂線，
，
∴＞＞……………………（4分）
∴點G的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，又
∴………………………………………………………………（6分）
（2）∵.四邊形OASB為平行四邊行，假設存在直線1，使
四邊形OASB為矩形若1的斜率不存在，則1的方程為
由＞0.這與相矛盾，
∴1的斜率存在.……………………………………………………………………（8分）
設直線1的方程

消去y

       

∴…………………………………………（10分）
∴
由∴…（13分）
∴存在直線1：或滿足條件.…………………（14分）

略