Question

(本小題滿分14分）設橢圓方程 （），為橢圓右焦點，為橢圓在短軸上的一個頂點，的面積為6,（為坐標原點）；
（1）求橢圓方程；
（2）在橢圓上是否存在一點，使的中垂線過點？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（1）設
∵為橢圓在短軸上的一個頂點，且的面積為6,
∴.              ----------------------------------------------------------- 1分
又∵          ----------------------------------------------------------2分
∴或         ---------------------------------------------------------4分
∴橢圓方程為或  ---------------------------------------6分
（2）假設存在點，使的中垂線過點.
若橢圓方程為，則，由題意，
∴點的軌跡是以為圓心，以3為半徑的圓.
設，則其軌跡方程為     -------------------------------------------8分
顯然與橢圓無交點.
即假設不成立，點不存在.              -----------------------------------------------9分
若橢圓方程為，
則，
∴點的軌跡是以為圓心，以4為半徑的圓.
則其軌跡方程為             -----------------------------------------1 1分
則，∴，-------------------------------------------- 13分
故滿足題意的點坐標分別為，，，
---- 14分
 

略