Question

【題目】設函數.

（1）當時，求的單調區間；

（2）若的圖象與軸交于兩點，起，求的取值范圍；

（3）令， ，證明： .

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為，單調減區間為（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）求導數，令導數大于零，求其單增區間即可；（2）根據導數分析函數的極小值，由題意極小值小于零即可求出；（3）構造函數，求其最小值，則當時， 即，代換得，累加即可得證.

試題解析：

（1）當時， 得，解得，

∴函數的單調遞增區間為，單調減區間為.

（2），依題意可知，此時得，

在上單調遞減，在上單調遞增，又或時，

，

∴的圖象與軸交于兩點，

當且僅當即

得.

∴的取值范圍為.

（3）令，

∵，∵，得

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，得.

當時， 即.

令， 得，則疊加得：

，

即.