【題目】設(shè)函數(shù)
（1）當(dāng)
時，求函數(shù)
在點
處的切線方程；
（2）若函數(shù)存在兩個極值點
，
①求實數(shù)
的范圍；
②證明：
.
【答案】（1）
；（2）
，證明詳見解析．
【解析】
試題本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．第一問，將
代入，對
求導(dǎo)，切點的縱坐標為
，斜率為
，利用點斜式寫出切線方程；第二問，對求導(dǎo)，令
，將函數(shù)
存在兩個極值點
，轉(zhuǎn)化為方程
有兩個不同的正根，利用二次函數(shù)的圖象分析列出不等式，解出a的取值范圍；對求導(dǎo)，求出的根，得到
的表達式，構(gòu)造函數(shù)
，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)
的單調(diào)性，求出最小值，即證明了結(jié)論．
試題解析：（1）當(dāng)a＝2時，
，
，
則
，
，所以切線方程為．4分
（2）
（
），令
，得
，
①函數(shù)
有兩個極值點等價于方程有兩個不同的正根，
設(shè)
，
所以
，
所以函數(shù)有兩個極值點
，
，則，
②由，得，則
，
，
，
在區(qū)間
上遞減，
，
所以
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【題目】已知函數(shù)
.
(1)若
在
上單調(diào)遞減，求
的取值范圍；
(2)若在
處取得極值，判斷當(dāng)
時，存在幾條切線與直線
平行，請說明理由；
(3)若有兩個極值點
，求證：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】甲、乙兩超市同時開業(yè)，第一年的全年銷售額為a萬元，由于經(jīng)營方式不同，甲超市前n年的總銷售額為
(n2－n＋2)萬元，乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多a
萬元．
(1)求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達式；
(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%，則該超市將被另一超市收購，判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況，將會出現(xiàn)在第幾年？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某市統(tǒng)計局就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖（每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在
）.
（1）求居民收入在
的頻率；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（3）為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10000人中按分層抽樣方法抽出100人作進一步分析，則月收入在
的這段應(yīng)抽取多少人？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某區(qū)的區(qū)人大代表有教師6 人，分別來自甲、乙、丙、丁四個學(xué)校，其中甲校教師記為
，
，乙校教師記為
，
，丙校教師記為C，丁校教師記為D.現(xiàn)從這6 名教師代表中選出 3 名教師組成十九大報告宣講團，要求甲、乙、丙、丁四個學(xué)校中，每校至多選出1名.
（1）請列出十九大報告宣講團組成人員的全部可能結(jié)果；
（2）求教師被選中的概率；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，在點
處的切線方程為
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）已知
，當(dāng)
時，
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（Ⅲ）對于在
中的任意一個常數(shù)
，是否存在正數(shù)
，使得
，請說明理由。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
.
(Ⅰ) 求曲線
在點
處的切線方程；
(Ⅱ) 討論函數(shù)
的單調(diào)性；
(Ⅲ) 設(shè)
,當(dāng)
時,若對任意的
，存在
，使得
≥
，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某城市通過抽樣調(diào)查的方法獲得了100戶居民某月用水量（單位：t）的頻率分布直方圖：
（Ⅰ）求這100戶居民該月用水量的平均值；
（Ⅱ）從該月用水量在
和
兩個區(qū)間的用戶中，用分層抽樣的方法邀請5戶的戶主共5人參加水價調(diào)整方案聽證會，現(xiàn)從這5人中隨機選取2人在會上進行陳述發(fā)言，求選取的2人均來自用水量低于2.5t的用戶的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知菱形
與直角梯形
所在的平面互相垂直，其中
，
，
，
，
為
的中點
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)
為線段
上一點，
，若直線
與平面所成角的正弦值為
，求
的長.
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