Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣alnx﹣a． （Ⅰ）當a=e時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）證明：對于a∈（0，e），f（x）在區間 上有極小值，且極小值大于0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣alnx﹣a，x＞0， 由a=e，則f（x）=ex﹣e（lnx﹣1），求導f′（x）=ex﹣ ，
由f（1）=0，f′（1）=0，
∴y=f（x）在（1，f（1））處切線方程為y=0，
（Ⅱ）由a∈（0，e），則導f′（x）=ex﹣ ，在（ ，1）上是單調遞增函數，
由f′（ ）= ﹣e＜0，f′（1）=e﹣a＞0，
則x0∈（ ，1）使得 ﹣ =0，
∴x∈（ ，x0），f′（x0）＜0，x∈（x0 ， 1），f′（x0）＞0，
故f（x）在（ ，x0）上單調遞減，在（x0 ， 1）上單調遞增，
∴f（x）有極小值f（x0），由 ﹣ =0，
則f（x0）= ﹣a（lnx0+1）=a（ ﹣lnx0﹣1），
設g（x）=a（ ﹣lnx﹣1），x∈（ ，1），
g′（x）=a（﹣ ﹣ ）=﹣ ，
∴g（x）在（ ，1）上單調遞減，
∴g（x）＞g（1）=0，
即f（x0）＞0，
∴函數f（x）的極小值大于0．
【解析】（Ⅰ）求導，f′（x）=ex﹣ ，f（1）=0，f′（1）=0，y=f（x）在（1，f（1））處切線方程為y=0；（Ⅱ）由題意可知：f′（x）=ex﹣ ，在（ ，1）上是單調遞增函數，則x0∈（ ，1）使得 ﹣ =0，根據函數的零點判定定理，f（x）有極小值f（x0），由 ﹣ =0，構造輔助函數，求導，根據函數的單調性即可求得f（x0）＞0，即f（x）在區間 上有極小值，函數f（x）的極小值大于0．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．