Question

【題目】已知點H（﹣1，0），點P在y軸上，動點M滿足PH⊥PM，且直線PM與x軸交于點Q，Q是線段PM的中點．
（1）求動點M的軌跡E的方程；
（2）若點F是曲線E的焦點，過F的兩條直線l1 ， l2關于x軸對稱，且l1交曲線E于A、C兩點，l2交曲線E于B、D兩點，A、D在第一象限，若四邊形ABCD的面積等于 ，求直線l1 ， l2的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設M（x，y），P（0，y1）（y1≠0），Q（x1，0），

=（﹣1，﹣y1）， =（x1，﹣y1），

∵PH⊥PM，

∴﹣x1+y′2=0，即y12=x1，

又 ，則 ，可得：y2= （x≠0），

（2）解：由（1）拋物線的焦點F（ ，0），則直線l1：x=my+ （m＞0），

則 ，整理得y2﹣ y﹣ =0，

∴yA+yC= ，yAyC=﹣ ，

由題意，四邊形ABCD是等腰梯形，

∴S=丨 丨=﹣2（yA﹣yC）2（yA+yC）=，

=﹣m[（yA+yC）2﹣4yAyC]=﹣ ，

由﹣ = ，

整理得：m3+m=10，（m+2）（m2﹣2m+5）=0，

則m2﹣2m+5＞0，則m=﹣2，

∴直線l1，l2的方程y=﹣ x+ ，y= x﹣ ．

【解析】（1）由題意可知： =（﹣1，﹣y1）， =（x1 ， ﹣y1），利用PH⊥PM，求動點M的軌跡E的方程；（2）由拋物線的焦點，設直線方程，代入橢圓方程，結合韋達定理，即可用m表示四邊形ABCD的面積，求出m，即可求直線l1 ， l2的方程．