Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0），橢圓C的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為 ，短軸長為2．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若點(diǎn)P為直線x=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A，B為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線AP，BP分別與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，求證：直線MN恒過點(diǎn)E（1，0）．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意可得c= ，2b=2，b=1，a2=b2+c2=4，
則a2=4，
∴橢圓C的方程為 ．
（II）由 可得橢圓的左、右頂點(diǎn)為A（﹣2，0），B（2，0）．
設(shè)P（4，m），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），則直線 ，直線
由 ，整理得： ，解得 ，
由 ，整理得：m2（x+2）2=4﹣x2 ， 解得 ， ，
， ，kME=kNE ，
M，N，E三點(diǎn)共線，即直線MN恒過點(diǎn)E（1，0）．
另法：
由 可得 ，解得 ，
由 可得m2（x﹣2）2=4﹣x2 ， 解得 ，
所以
所以M，N，E三點(diǎn)共線，即直線MN恒過點(diǎn)E（1，0）．
【解析】（I）由題意可知c= ，b=1，a2=b2+c2=4，即可求得橢圓方程；（II）由題意求得AP及BP的方程，分別代入橢圓方程，求得M和N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線的斜率公式，可得kME=kNE ， 則M，N，E三點(diǎn)共線，即直線MN恒過點(diǎn)E（1，0）；