Question

【題目】如圖，四棱錐中，，，，，，，點為中點.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，一般轉化成證明平面. (2)第（2）問，一般利用空間向量線面角的公式求解.

試題解析：（1）證明：取中點，連接、，

∵，，

∴，，

∵，

∴平面，平面，

∴，又∵，

∴.

（2）解：過做于，

∵平面，平面，

∴，∵，∴平面.

過做交于，則、、兩兩垂直，

以、、分別為、、軸建立如圖所示空間直角坐標系，

∵，，，，點為中點，

∴，，

∴，

∴，

∴，，.

∵，，

∴，，

∴四邊形是矩形，，

∴，，，，

∵為中點，

∴，

∴，，.

設平面的法向量，

由，得，

令，得，

則，

則與所成角設為，其余角就是直線與平面所成角，設為，

，

∴直線與平面所成角的正弦值為.