Question

【題目】在正三棱錐中，是的中點，且，底面邊長，則正三棱錐的外接球的表面積為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

試題根據三棱錐為正三棱錐，可證明出AC⊥SB，結合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三條側棱兩兩互相垂直．最后利用公式求出外接圓的直徑，結合球的表面積公式，可得正三棱錐S-ABC的外接球的表面積．

取AC中點，連接BN、SN，∵N為AC中點，SA=SC，∴AC⊥SN，

同理AC⊥BN，∵SN∩BN=N，∴AC⊥平面SBN，

∵SB平面SBN，∴AC⊥SB，∵SB⊥AM且AC∩AM=A，

∴SB⊥平面SACSB⊥SA且SB⊥AC，

∵三棱錐S-ABC是正三棱錐，

∴SA、SB、SC三條側棱兩兩互相垂直．

∵底面邊長∴側棱SA=2，

∴正三棱錐S-ABC的外接球的直徑為：，

∴正三棱錐S-ABC的外接球的表面積是，故選B．