Question

如圖，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

．M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC．
（1）證明：PQ∥平面BCD；
（2）若∠BDC=45°，求直線BM與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF=3FC，連接OP，OF，FQ．先證明出四邊形OPQF是平行四邊形，進而證明出PQ∥OF，最后根據線面平行的判定定理證明出PQ∥平面BCD．
（2）先證明∠MBK為所求角，分別求得BM，MK，求得cos∠MBK的值．

解答： （1）證明：取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF=3FC，連接OP，OF，FQ．
∵AQ=3QC，
∴QF∥AD，且QF=

1

4

AD，
∵O，P分別為BD，BM的中點，所以OP是△BDM的中位線，
∴OP∥DM，且OP=

1

2

DM，
又點M是AD的中點，
∴OP∥AD，且OP=

1

4

AD
∴OP∥FQ，且OP=FQ
∴四邊形OPQF是平行四邊形，
∴PQ∥OF，
又∵PQ?平面BCD，OF?平面BCD，
∴PQ∥平面BCD．
（2）解：過M做MK⊥AC，交AC于點K，連結BK，
∵BC⊥CD，BC⊥AD，CD∩AD=D，
∴BC⊥平面ADC，
又∵BC?平面ABC，
∴平面ACD⊥平面ABC，
∵平面ACD∩平面ABC=AC，MK⊥AC，
∴MK⊥平面ABC，
∴∠MBK就是所求，
在Rt△BDM中，BD=2

2

，MD=1
∴BM=3，
∵在Rt△AMC中，AM=1，AC=2

2

，且AC•MK=AM•CD，
∴MK=

2

2

，
∴在Rt△MKB中，cos∠MBK=

BK

BM

=

BM2-MK2

BM

=

34

6

．

點評：本題主要考查了線面平行的判定，直線與平面所成的角．考查了學生綜合運用基礎知識解決問題的能力．