Question

【題目】已知函數，且函數在處取到極值.

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）若函數，且函數有3個極值點，，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）求出原函數的導函數，由求解值，則曲線在處的切線方程可求；

（2）求出函數的解析式，由，根據已知有

三個解，存在兩個不同于的零點， 設，求出取值范圍，結合的函數特征，可判斷是函數的兩個零點，構造函數，研究的單調性，把證明轉化為證明即可.

（1）， ，

函數在處取到極值，，即.

則，，

∴曲線在處的切線方程為；

（2），

函數的定義域為且，

令，，

在上單調遞減，在上單調遞增；

是的最小值；有三個極值點，

，得.

的取值范圍為，

當時，，，

；即，是函數的兩個零點.

，消去得；

令，，

的零點為，且.

在上遞減，在上遞增.

要證明，即證，

等價于證明，即.

，即證.

構造函數，則；

只要證明在上單調遞減，

函數 在單調遞減；

增大時，減小，增大，減小，

在上是減函數.

在上是減函數.

當時， .

即.