Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，為的中點，是上的點.

（1）若平面，證明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）因為，利用線面平行的判定定理可證出平面，利用點線面的位置關系，得出和，由于底面，利用線面垂直的性質，得出

，且，最后結合線面垂直的判定定理得出平面，即可證出平面.

（2）由（1）可知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，標出點坐標，運用空間向量坐標運算求出所需向量，分別求出平面和平面的法向量，最后利用空間二面角公式，即可求出的余弦值.

（1）證明：因為，平面，平面，

所以平面，

因為平面，平面，所以可設平面平面，

又因為平面，所以.

因為平面，平面，

所以，從而得.

因為底面，所以.

因為，所以.

因為，所以平面.

綜上，平面.

（2）解：由（1）可得，，兩兩垂直，以為原點，，，所在

直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為，所以，

則，，，，

所以，，，.

設是平面的法向量，

由取

取，得.

設是平面的法向量，

由得

取，得，

所以，

即的余弦值為.