Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓與軸交于 兩點，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點是橢圓上的一個動點，且直線與直線分別交于 兩點．是否存在點使得以 為直徑的圓經過點？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點不存在.

【解析】分析：（1）根據橢圓的幾何性質知，即，再由離心率得，從而可得，得橢圓方程；

（2）假設點P存在，并設，寫出PA的方程，求出M點坐標，同理得N點坐標，求出MN的中點坐標，即圓心坐標，利用圓過點D得一關于的等式，把P點坐標代入橢圓方程后也剛才的等式聯立解得，注意的范圍，即可知存在不存在．

詳解：（1）由已知，得知，

又因為離心率為，所以.

因為，所以,

所以橢圓的標準方程為.

（2）假設存在.

設

由已知可得，

所以的直線方程為，

的直線方程為，

令，分別可得，，

所以，

線段的中點，

若以為直徑的圓經過點D（2,0），

則,

因為點在橢圓上，所以，代入化簡得，

所以， 而，矛盾，

所以這樣的點不存在.