Question

【題目】已知函數.

（1）證明：當時，；

（2）若函數只有一個零點，求正實數的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）把轉化成，令，由題意得，即證明恒成立，通過導數求證即可

（2）直接求導可得，，令，得或，故根據0與的大小關系來進行分類討論即可

證明：（1）令，則.

分析知，函數的增區間為，減區間為.

所以當時，.

所以，即，

所以.

所以當時，.

解：（2）因為，所以.

討論：

①當時，，此時函數在區間上單調遞減.

又，

故此時函數僅有一個零點為0；

②當時，令，得，故函數的增區間為，減區間為，.

又極大值，所以極小值.

當時，有.

又，此時，

故當時，函數還有一個零點，不符合題意；

③當時，令得，故函數的增區間為，減區間為，.

又極小值，所以極大值.

若，則，得，

所以

，

所以當且時，，故此時函數還有一個零點，不符合題意.

綜上，所求實數的值為.