Question

【題目】已知函數(shù)，，

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）若在恒成立，求的取值范圍；

（III）當(dāng)，時(shí)，證明：

Answer 1

【答案】（I）見解析（II）（III）見解析

【解析】

（I）求導(dǎo)后，當(dāng)時(shí)，恒成立，可知單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，求出的解，從而可判斷出的符號，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（II）當(dāng)時(shí)，可知；當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)求解出使，的最大值，從而；當(dāng)時(shí)，，可得，綜合上述結(jié)果，可求得；（III）由（II）可知只需證得在上恒成立即可；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證得結(jié)果，從而原不等式成立.

（I）由題意知：

（1）當(dāng)時(shí)，恒成立 在定義域上單調(diào)遞增

（2）當(dāng)時(shí)，令，解得：

則，，變化情況如下表：

		極小值

的單調(diào)減區(qū)間為：，單調(diào)增區(qū)間為：

（II）（1）當(dāng)時(shí)，原不等式化為：恒成立，可知

（2）當(dāng)時(shí)，則，令

則

令，則

當(dāng)時(shí)，，則

在上單調(diào)遞減

即 在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，

綜上所述：

（III）（1）當(dāng)時(shí)，，則

由（II）可得時(shí)，

則只需證明：成立

令

當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增