Question

設函數f (x)的定義域為M，具有性質P：對任意x∈M，都有f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1).
（1）若M為實數集R，是否存在函數f (x)＝a^x (a＞0且a≠1，x∈R) 具有性質P，并說明理由；
（2）若M為自然數集N，并滿足對任意x∈M，都有f (x)∈N. 記d(x)＝f (x＋1)－f (x).
(ⅰ) 求證：對任意x∈M，都有d(x＋1)≤d(x)且d(x)≥0；
(ⅱ) 求證：存在整數0≤c≤d(1)及無窮多個正整數n，滿足d(n)＝c.

Answer 1

(1)根據新定義可知，不存在函數f (x)＝a^x(a＞0且a≠1)滿足性質P.
(2)運用反證法來證明正難則反的試題。也是證明不等式常用的方法之一。

試題分析：證明：（1）因f (x)＝a^x(a＞0且a≠1)，所以a^x≠a^x+2，即f (x)≠f (x＋2).
2分
由題設以及算術平均與幾何平均不等式，得
f (x)＋f (x＋2)＝a^x＋a^x+2＞2＝2 a^x+1＝2 f (x＋1)，
這與f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1)矛盾.
故不存在函數f (x)＝a^x(a＞0且a≠1)滿足性質P.                         4分
（2）(ⅰ)由題設對任意，f (x)＋f (x＋2)≤2f (x＋1)，所以
f(x＋2)－f(x＋1)≤f(x＋1)－f(x).
于是對任意x∈N，d(x＋1)≤d(x).                                     6分
下面用反證法證明：對任意x∈N，d(x)≥0.
假設存在某個非負整數k使d(k)＜0，則由題設對任意x∈N，f(x)∈N，得d(x)∈Z，于是有d(k)≤－1.                                                    8分
由任意x∈N，d(x＋1)≤d(x)，所以－1≥d(k)≥d(k＋1)≥d(k＋2)≥ ≥d(k＋n)≥ .，這里n是自然數. 于是有
d(k＋n)＋d(k＋(n－1))＋d(k＋(n－2))＋ ＋d(k)≤(n＋1) d(k)≤(n＋1)×(－1).
而d(k＋n)＋d(k＋(n－1))＋d(k＋(n－2))＋ ＋d(k)＝f (k＋n＋1)－f (k)，
所以f (k＋n＋1)－f (k)≤－(n＋1).
取n＝f (k)，得f (k＋f (k)＋1)≤－f (k)－1＋f (k)＝－1，這與f (k＋f (k)＋1)∈N矛盾.
因此，必有對任意x∈N，d(x)≥0.                                  12分
(ⅱ)由(ⅰ)可知 d(1)≥d(2)≥d(3)≥ ≥d(n)≥ ≥0.
當d(1)＝0時，則有d(1)＝d(2)＝d(3)＝ ＝d(n)＝0，結論成立.
當d(1)≠0時，對任意n∈N，有d(n) ∈N，且d(n) ∈[0, d(1)].
因為在區間[0, d(1)]上的自然數只有有限個，而落在此區間上的自然數d(n)有無數多個，所以，必存在自然數c∈[0, d(1)]和無窮多個正整數n，滿足d (n)＝c.       16分
點評：關鍵是對于新定義的理解和準確的表示，屬于中檔題。審清題意，要仔細認真，避免誤解。