Question

若函數都在區間上有定義，對任意，都有成立，則稱函數為區間上的“伙伴函數”
（1）若為區間上的“伙伴函數”，求的范圍。
（2）判斷是否為區間上的“伙伴函數”？
（3）若為區間上的“伙伴函數”，求的取值范圍

Answer 1

（1）；（2）它們是“伙伴函數”；（3）。

試題分析：（1）由已知：
所以，解出：，從而
（2）由已知：，其中
由二次函數的圖像可知：當時，
所以恒成立，所以它們是“伙伴函數”
（3）由已知：在時恒成立。
即：在時恒成立，分離參數可得：
在時恒成立，所以
函數在時單調遞增，所以其最大值為
函數為雙勾函數，利用圖像可知其最小值為 所以。
點評：難題，本題以新定義函數的形式，重點考查指數函數、對數函數及二次函數的性質，恒成立問題解法。對于“恒成立問題”往往轉化成求函數的最值問題。本題利用了“分離參數法”。